函数
初学函数
函数的定义
，.
为定义域， 为值域， 为对应关系.
单调性
单调递增：函数 定义域为 ，区间 ，，当 时，都有 .
等价定义：，都有 或 .
单调递减：函数 定义域为 ，区间 ，，当 时，都有 .
等价定义：，都有 或 .
在定义域内，若函数单调递增则是增函数，若单调递减则是减函数.
奇偶性
偶函数：函数图像关于 轴对称.
设 定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么 是偶函数.
奇函数：函数图像关于原点对称.
设 定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么 是奇函数.
从图像上看， 就是 关于 轴对称后的函数， 就是 关于 轴对称后的函数.
是 关于 轴对称后的函数很好理解，自变量值不变，因变量为相反数.
是 关于 轴对称后的函数，证明如下：
令 ， 时，，这个很好理解，因为两个函数解析式相同.
而 ，也就是说， 时，两个函数因变量相等，也就是关于 轴对称了.
所以说，将 轴一侧的函数，关于 轴对称，得到偶函数；将 轴一侧的函数，关于 轴对称，再关于 轴对称，得到奇函数.这便解释了上方的定义.
分段奇偶函数
分段函数已知 轴左侧或右侧解析式，利用奇偶性定义求另一侧解析式：
奇函数：.
偶函数：.
例题： 是奇函数，当 时，，求 时的解析式.
设 ，则 .
.
，.
函数加绝对值的变化：
，就是在 的基础上，取 轴以右的图像，然后把右侧的图像对称到左侧.也就是说， 是一个偶函数.
，就是在 的基础上，将 轴以下的图像翻折上来.
复合函数
.
其中 为外函数， 为内函数.
单调性
- 内函数与外函数单调性相同，复合函数为增函数.
- 内函数与外函数单调性相反，复合函数为减函数.
幂函数
，.
图像和性质
.
.
.
.
.
单调性：
- 若 ，则幂函数在 上为增函数.
- 若 ，则幂函数在 上为减函数.
奇偶性：
若幂函数指数为分数 ， 是偶数时定义域为 ，也就谈不上所谓奇偶性； 是奇数时函数定义域为 ， 是奇数时是奇函数， 是偶数时是偶函数.
指数函数
，.
其中 为自变量，定义域为 ，值域为 .
图像和性质
.
.
.
.
- 所有指数函数图像都过 .
- 指数函数增长速率极快.
- 底数 是减函数， 是增函数.
- 底数互为倒数的两个函数关于 轴对称.
若要通过指数函数图像判断指数函数底数的大小，只需要看第一象限，越高的底数越大，因为 .
分数指数幂
若 ，则 叫做 的 次方根.
两个公式：
时，，，所以指数的分母表示开根号. 注意只有底数大于 时这个才是适用的.
正数分数指数幂：，.
负数分数指数幂：，.
对数函数
.
图像和性质
.
.
.
两个函数底数 ， 互为倒数时图像关于 轴对称.
时， 为底数的值.
过定点 ，定义域 ，值域 .
时，函数为减函数； 时，函数为增函数.
反函数
与 互为反函数，它们的定义域与值域互换.
互为反函数的两个函数的图像关于直线 对称.